Re: RUBIK Infinito

Posted by RUBIK Transfinito on Dic 25, 2012; 12:03pm
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Decir también -lo había pasado por alto- que la expresión "los 23 problemas indecidibles del Hilbert" que ha usado KUZNACTI está mal. De los problemas que David Hilbert planteó, *algunos* pocos resultaron efectivamente ser cuestiones indecidibles. En especial y muy relevantemente el Entscheidungsproblem (literalmente "Decisión-problema"), cuyo objeto era "mecanizar la matemática" (sic). En realidad, me resisto a llamar "indecidible" a este último, puesto que en este caso se trataría más bien de ausencia de solución.

Indecibilidad significaría o bien que una afirmación es VERDADERA pero no existe una "demostración" de eso en términos de afirmaciones (axiomas) más "simples" (la misma afirmación discutida habría de ser tomada como "axioma", si fuéramos capaces de verla como una verdad "atómica", evidente en sí misma); o bien que escapa al tertium non datur (= " un tercero [un tercer caso] no se da") de la filosofía aristotélica. Es decir: generalmente suponemos que cualquier afirmación ha de ser a priori VERDADERA o FALSA. SÍ o NO. Y sobreentendemos que jamás hay una tercera posibilidad, que no hay un ni-verdadero-ni-falso. Esto es lo que significa el tertium non datur.

Ahora bien, podría haber afirmaciones o conjeturas, por ejemplo en el campo de la Teoría de Números, que no sean ni ciertas ni falsas. Sucedería un poco como con el Quinto Postulado de Euclides, que en un cierto sentido es *eso*. Podemos tomarlo como verdadero, y construir a partir de él (junto con un puñado de axiomas) una geometría perfectamente coherente desde un punto de vista lógico; O BIEN podemos asumir que es falso, y asumir en su lugar que dos rectas paralelas acaban cortándose en el infinito, o que se aproximan asintóticamente o lo que sea ... Y a partir de eso construir una geometría no-euclidiana y en la que tampoco tiene por qué haber fallos lógicos (sería tan coherente como la otra).

Naturalmente, la PREGUNTA de si el Universo físico es o no euclidiano es harina de muy otro costal, y SÓLO PUEDE RESOLVERSE OBSERVACIONALMENTE ("experimentalmente", si quiere decirse así); no es posible decidir la respuesta a esa pregunta solamente por razonamiento puro.


Volviendo al tema de los Transfinitos y en cierto sentido yendo MÁS ALLÁ del tema (para no decepcionar a Kuznacti), me pregunto si se ha preguntado ...

POR QUÉ cuando los espacios tienen la misma dimensión es posible construir una biyección *continua*, mientras que cuando las dimensiones son distintas, es posible construir esa biyección (método que Cantor halló tan trabajosamente tras varios años de rumiar la idea) pero NO PUEDE SER CONTINUA (teorema fácil de probar). Además, este último hecho tiene relación directa con ese famoso teorema de Shannon de la Teoría de la Información, según el cual en un Canal de Comunicación con *ruido* (perturbaciones aleatorias que sobrevienen aquí y allí ...) es posible a pesar de todo hallar un sistema de codificación que reduzca los errores en la transmisión a menos de cualquier tasa prefijada de antemano, SIEMPRE Y CUANDO la tasa de ruido (en bits/segundo) sea menor que la capacidad del canal. Si se da esto último, y si la entropía de la fuente emisora es menor o igual que la diferencia entre CAPACIDAD y RUIDO, será posible una transmisión con tasa de error tan próxima a cero como queramos estipular.

Lo de la imposibilidad de construir una biyección continua entre espacios de dimensión distinta (ambos con EL MISMO CARDINAL infinito, i.e. con igual "cantidad de elementos", en teoría) es una pieza clave de esa demostración.