Re: RUBIK Infinito
Posted by ORA:CLE on Dic 25, 2012; 1:41pm
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RUBIK:
Indecibilidad significaría o bien que una afirmación es VERDADERA pero no existe una "demostración" de eso en términos de afirmaciones (axiomas) más "simples" (la misma afirmación discutida habría de ser tomada como "axioma", si fuéramos capaces de verla como una verdad "atómica", evidente en sí misma); o bien que escapa al tertium non datur (= " un tercero [un tercer caso] no se da") de la filosofía aristotélica. Es decir: generalmente suponemos que cualquier afirmación ha de ser a priori VERDADERA o FALSA. SÍ o NO. Y sobreentendemos que jamás hay una tercera posibilidad, que no hay un ni-verdadero-ni-falso. Esto es lo que significa el tertium non datur.
ORA:CLE
Yo creo que la noción clásica de indecibilidad es la primera que dices: no se puede demostrar la verdad o falsedad de una proposición a partir de un conjunto de axiomas concreto. Pero no tiene que ver con la verdad o falsedad de la proposición, sino con la existencia de una demostración.
RUBIK:
Ahora bien, podría haber afirmaciones o conjeturas, por ejemplo en el campo de la Teoría de Números, que no sean ni ciertas ni falsas. Sucedería un poco como con el Quinto Postulado de Euclides, que en un cierto sentido es *eso*. Podemos tomarlo como verdadero, y construir a partir de él (junto con un puñado de axiomas) una geometría perfectamente coherente desde un punto de vista lógico; O BIEN podemos asumir que es falso, y asumir en su lugar que dos rectas paralelas acaban cortándose en el infinito, o que se aproximan asintóticamente o lo que sea ... Y a partir de eso construir una geometría no-euclidiana y en la que tampoco tiene por qué haber fallos lógicos (sería tan coherente como la otra).
ORA:CLE
Ocurre algo parecido con la hipótesis del contínuo y los axiomas típicos de la teoría de conjuntos.
Creo que es mas útil la idea de consistencia que la de verdad.
RUBIK:
POR QUÉ cuando los espacios tienen la misma dimensión es posible construir una biyección *continua*, mientras que cuando las dimensiones son distintas, es posible construir esa biyección (método que Cantor halló tan trabajosamente tras varios años de rumiar la idea) pero NO PUEDE SER CONTINUA (teorema fácil de probar). Además, este último hecho tiene relación directa con ese famoso teorema de Shannon de la Teoría de la Información, según el cual en un Canal de Comunicación con *ruido* (perturbaciones aleatorias que sobrevienen aquí y allí ...) es posible a pesar de todo hallar un sistema de codificación que reduzca los errores en la transmisión a menos de cualquier tasa prefijada de antemano, SIEMPRE Y CUANDO la tasa de ruido (en bits/segundo) sea menor que la capacidad del canal. Si se da esto último, y si la entropía de la fuente emisora es menor o igual que la diferencia entre CAPACIDAD y RUIDO, será posible una transmisión con tasa de error tan próxima a cero como queramos estipular.
Lo de la imposibilidad de construir una biyección continua entre espacios de dimensión distinta (ambos con EL MISMO CARDINAL infinito, i.e. con igual "cantidad de elementos", en teoría) es una pieza clave de esa demostración.
ORA:CLE
Interesante. ¿Tienes algún enlace a la demostración?