Re: RUBIK Infinito
Posted by RUBIK Transfinito on Dic 27, 2012; 12:52pm
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@ ALU
Ese tipo de problemas en realidad exigen simplemente comprender bien el LENGUAJE COMÚN (palabras) a fin de traducirlo al LENGUAJE MATEMÁTICO (ecuaciones/"igualaciones").
Vamos a llamar a cada cosa *desconocida* (= "incógnita") con una letra ...
Sea
X = Precio del *bate*
Y = Precio de la *pelota*
Y ahora hay que reformular el enunciado del problema (palabras) en formato matemático:
El bate y la pelota cuestan 1,10$.
X + Y = 1.10
El bate cuesta 1$ mas que la pelota, que equivale a decir que el precio del bate es igual al de la pelota más uno.
X = Y + 1
¿Cuánto cuesta la pelota?
Y = ???
Es decir, el PROBLEMA ORIGINAL, que estaba expresado en palabras vinculadas por las leyes de la gramática, puede ser expresado de manera más sintética así:
X + Y = 1.10
X = Y + 1
Donde X es el precio del bate e Y es el precio de la pelota, siendo ambos cantidades desconocidas, y estando nosotros interesados en la primera.
X e Y se llaman "incógnitas" por el latín: cognoscere = "conocer"; cognitus="conocido"; incognitus="desconocido"; incognita="desconocida". En inglés las llaman unknowns = "no-sabidos/-as".
Notemos que AMBOS ENUNCIADOS (el verbal y el matemático) CONTIENEN EXACTAMENTE LA MISMA INFORMACIÓN. Son lo mismo pero expresado con "estilos" distintos. Las ventajas del lenguaje matemático son que:
a) Es más sintético (ocupa menos espacio para decir lo mismo).
b) Es inambiguo (no da lugar a equívocos o dudas en la interpretacion).
c) Permite manipulaciones mecánicas, como veremos ahora, y ello nos lleva a una de las virtudes del Álgebra: reduce la cantidad de pensamiento creativo necesario.
De hecho, podríamos haber usado PALABRAS directamente como incógnitas:
BATE + PELOTA = 1.10
BATE = PELOTA + 1
La única desventaja de esto es que hay que escribir más que si llamamos a los dos precios X e Y, como hemos hecho antes. La ventaja es que es más "transparente" y por ello asusta menos: se elimina un poco la "mística" de las ecuaciones. Aun así, a poco que uno se familiarice con todo esto, prefiere escribir X e Y en lugar de BATE y PELOTA, por simple pereza o ley del mínimo esfuerzo.
En realidad las matemáticas no son más que otro lenguaje, sólo que más austero e inambiguo. Es por todo esto que normalmente soy tan quisquilloso con los fallos al hablar/escribir (sí, ya sé que hay "usos distintos", pero no suelo navegarlos a gusto). Se ha dicho que el lenguaje es la primera Ciencia y la llave de todas las demás, cosa que creo que probablemente sea cierta y que tiene evidentes conexiones con todo esto que estamos viendo.
Pero no divaguemos ...
Habíamos llegado a que
X + Y = 1.10
X = Y + 1
y a que queremos saber el valor de Y (las incógnitas en realidad son X e Y, pero nos basta con hallar la segunda, porque es lo que pregunta el enunciado).
Expresado como está justo arriba, el problema está enunciado con total precisión, y resolverlo ya es mera cuestión de TÉCNICA. Hay varios métodos:
Lo primero sería
*** Método de INTUICIÓN
Esto difícilmente puede llamarse "método", palabra de etimología griega que significa "camino" y denota mecánica, sistematicidad, automatismo ... En realidad este "método" es un simple "ser astuto" o estar inspirado:
Si sé que el BATE ha de valer 1 dólar más que la PELOTA, puedo sustraer ese dólar del precio total, dividir a partes iguales lo que queda, adscribirlas a BATE y PELOTA y luego añadir el dólar que había quitado al bate para que esté un dólar por encima. Dibujar líneas con longitudes iguales a los precios sobre un papel ayuda a *visualizar* el porqué de eso. También se podría visualizar repartiendo arena o algo semejante. En todo caso:
1.10-1 = 0.10
0.10/2 = 0.05
Y ahora BATE = X = 0.05 +1 = 1.05
e
Y = PELOTA = 0.05
El problema es que esto, que muchos pueden ver "intuitivamente" cuando sólo hay dos incógnitas y el problema es "sencillo", se vuelve impracticable cuando hay *muchas* incógnitas. De hecho, el sistema de ecuaciones que estamos estudiando es lo que se llama un SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Es un caso canónico muy importante de la teoría, y con muchísimas aplicaciones prácticas (se suele desembocar en ese tipo de sistemas al final, incluso al tratar cosas que a priori no eran "lineales").
Un ordenador que controle por ejemplo el vuelo de un avión puede tener que estar resolviendo un sistema como éste pero con muchos MILES DE INCÓGNITAS (no sólo "bate" y "pelota", sino miles de "palabras" a la vez) a cada segundo que pasa. Esto sería imposible de hacer "intuitivamente", y menos aún en tiempo real (instantáneamente). Necesitamos métodos "mecánicos", que nos dispensen del esfuerzo de tener que "pensar" ...
*** Método de SUSTITUCIÓN o IGUALACIÓN
Tenemos dos ecuaciones
(1) X + Y = 1.10
(2) X = Y + 1
La segunda nos dice que X es igual a Y más 1. Podemos sustituir eso en la primera ecuación, para quedarnos con una sola incógnita:
X + Y = 1.10 ------> (Y + 1) + Y = 1.10
Simplemente hemos cambiado o sustituido la X de la ecuación (1) por el Y+1, ya que ES LO MISMO según la ecuacion #2 [X=Y+1]. Ya sólo tenemos que operar y despejar:
(Y + 1) + Y = 2*Y + 1 = 1.10 ------> 2*Y = 1.10 - 1 = 0.10 ------> Y = 0.10/2 = 0.05 $
Tenemos pues que Y = 0.05 $ [precio de la PELOTA]
Si queremos saber el del bate, hay que usar la ecuación 2:
X = Y + 1 = 0.05 + 1 = 1.05 $
Lógico ya que sabíamos que "pelota es igual a bate más uno" [vale un dólar más].
Sumando ambos precios, vemos que sale el total de 1.10 dólares, lo cual nos indica que probablemente no hemos errado.
Recapitulemos el método: lo único que hemos hecho ha sido poner una variable en función de la otra, en una de las ecuaciones (palabra que significa "igualaciones") para así tener una sola variable o incógnita.
Pero hay más métodos/técnicas:
*** Método de ELIMINACIÓN
Tenemos dos ecuaciones
(1) X + Y = 1.10
(2) X = Y + 1
Tras manipular un poco, podemos ponerlo así:
(1) X + Y = 1.10
(2) X - Y = 1
Técnicamente se dice que en la segunda ecuación hemos tomado algo del "segundo miembro" (lado de la derecha del signo =) y lo hemos pasado al "primer miembro" (lado de la izquierda). En inglés suelen hablar de RHS (right-hand side = lado de la mano derecha) y LHS (left-hand side = lado de la mano izquierda).
Sea como fuere, podemos tomar las ecuaciones como están en la última expresión y RESTARLAS, como si fueran "cantidades" normales. Naturalmente, sólo se pueden restar cosas *semejantes*: el primer miembro (izda. del signo "igual") se restará del primer miembro, y el segundo del segundo. A las X se les restarán X, y a las Y, las Y. Y los números se restarán entre ellos.
Así, al restarle a la ECUACIÓN (1) la ECUACIÓN (2) obtendremos
(X + Y = 1.10) - (X - Y = 1) ----> (X - X) + (Y - (-Y)) = 1.10 - 1 ---> 2*Y = 0.10 --->
---> Y = 0.10 / 2 = 0.05 ---> Y = 0.05 dólares
Normalmente, no se restan las ecuaciones como yo lo he puesto aquí (para que se entendiera la mecánica). Más bien suele ponerse (si acaso):
X + Y = 1.10
X - Y = 1
--------------
0*X + 2*Y = 1.10 - 1 [esta ecuación es la resta de las dos de arriba]
O sea, 2*Y=0.10 ---> Y = 0.05
Y cuando sabemos que Y es 0.05, añadiéndole 1 obtenemos X (ya que X=Y+1). Con lo que
Y=0.05
X=1.05
Siendo ambos números los precios de PELOTA y BATE respectivamente.
Este método de ELIMINACIÓN también suele llamarse DE GAUSS o de TRIANGULACIÓN, porque por una parte fue Gauss el primero que lo estudió hasta sus últimas consecuencias, y por otra parte, si tenemos muchas ecuaciones y vamos eliminando más y más incógnitas, nos queda una incógnita igualada a algo al final (con lo que deja de ser "incógnita" pq tenemos el valor directamente); una combinación de dos incógnitas igualada a algo en la ecuación precedente; tres en la antepenúltima, y así sucesivamente ... Eso da un característico aspecto de cuña o "triángulo" a la masa de ecuaciones, y de ahí el nombre del método "triangular".
En principio, la eliminación o triangulación puede usarse casi siempre, mientras que la igualación sólo es aplicable en casos muy sencillos. Al final, la triangulación es lo que hacen los ordenadores en realidad incluso para sistemas de ecuaciones muy grandes.
Hemos visto los métodos de IGUALACIÓN (o SUSTITUCIÓN) y el de ELIMINACIÓN (o TRIANGULACIÓN o GAUSS).
Pero en realidad un SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES como el visto se puede resolver echando mano de una teoría más potente. Nuestras dos ecuaciones
(1) X + Y = 1.10
(2) X = Y + 1
Pueden interpretarse, debido a sus dos incógnitas, como las ecuaciones de DOS RECTAS que se cortan en un plano. El PUNTO DE CORTE es un lugar del plano que satisface las dos ecuaciones a la vez, por lo que constituye la SOLUCIÓN del problema (par de números o coordenadas que cumple ambas condiciones/ecuaciones a la vez).
Si tuviéramos TRES ECUACIONES y TRES INCÓGNITAS, geométricamente el problema equivaldría a hallar el punto donde se intersectan tres PLANOS en el ESPACIO.
Y si tenemos en general N ECUACIONES y N INCÓGNITAS, tenemos "hiperplanos" cruzándose en un espacio hiperdimensional (N dimensiones). Hay toda una teoría matemática, abstracta, bella y simple, que tiene que permite tratar esto de forma estandarizada. Se trata de la teria de los ESPACIOS VECTORIALES y las APLICACIONES LINEALES (o "mapeos" lineales, que dirían en hispanoamérica) a ellos asociadas.
Salvo para casos "patológicos" (sistemas con *ninguna* solución o bien con *infinitas* soluciones), esa teoría nos da un MÉTODO GENERAL para hallar las incógnitas que nos interesen. Se trata de la llamada REGLA DE CRAMER
(1) X + Y = 1.10
(2) X - Y = 1
Este método presupone el concepto de DETERMINANTE. En esencia construimos MATRICES ("cajas de números") cuadradas, y el determinante es una manera de asignar un NÚMERO a cada caja.
Para un SISTEMA LINEAL de la forma
a*X + b*Y = c
d*X + e*Y = f
Construiríamos las matrices siguientes:
MATRIZ de COEFICIENTES
a b
d e
Cuyo DETERMINANTE vale
a*e-b*d
MATRIZ para la incógnita X [supone sustituir sus números de la matriz de coeficientes por la 'c' y la 'f', que son los términos independientes de las ecuaciones]:
c b
f e
El DETERMINANTE de esto vale
c*e - b*f
MATRIZ para la incógnita Y [supone sustituir sus números de la matriz de coeficientes por la 'c' y la 'f', que son los términos independientes de las ecuaciones]:
a c
d f
El DETERMINANTE de esta matriz vale
a*f - c*d
Y ahora el MÉTODO DE CRAMER nos dice que para hallar una incógnita, basta con dividir *su* DETERMINANTE (el que resulta para la matriz de coeficientes en el que su columna ha sido cambiada por la columna de términos independientes) entre el determinante de la matriz de coeficientes.
Esto nos daría que POR CRAMER las incógnitas valen:
X = (c*e - b*f) / (a*e-b*d)
Y = (a*f - c*d) / (a*e-b*d)
Si aplicamos esta ténica (CRAMER) a nuestro sistema original
(1) X + Y = 1.10
(2) X - Y = 1
reescribible como ...
(1) 1*X + 1*Y = 1.10
(2) 1*X + (-1)*Y = 1
Y viendo su "estructura" como
a*X + b*Y = c
d*X + e*Y = f
Obtendremos de nuevo que X = 1.05 e Y = 0.05 al aplicar las fórmulas en cuestión.
Lo bueno del método de Cramer a primera vista es que parece que (en un sistema muy grande) podemos fijarnos en una incógnita determinada y calcularla aisladamente, sin tener que preocuparnos por las otras. En realidad, los cálculos de los determinantes que aparecen en las fórmulas, si se han de realizar de manera eficiente, exigen TRIANGULACIÓN, con lo cual llegamos adonde siempre: a que lo que hizo Gauss en su momento es lo óptimo o casi.